一、数学图形与几何学习的基本特征

几何学习主要是让学生探索、认识空间几何体的结构特征，学会对空间基本图形的点、线、面位置关系进行判定。学生在学习几何知识的同时，实现几何空间想象能力和逻辑推理能力的形成和发展。

几何教学一直是教师面临的一个挑战，只有让学生深刻理解几何位置关系，灵活应用几何知识求解难题，才能让他们在后续的数学学习中进入一个更高的阶段。此外，几何学习的过程既能提升学生探索和处理问题的能力，也能促进学生综合能力发展，为后续的学习发挥重要的作用。

数学中有关几何的教学内容，涉及了学生的空间想象力和逻辑思维能力的培养。“图形与几何”的内容，每个部分之间相互联系，使得几何的教学体系是连续和完整的。 

二、动态几何软件丰富数学几何教学

为了满足现代教学的需要和标准，《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出：合理利用信息技术提供丰富的学习资源；开发与利用数字化资源，可以实现课堂教学由传统教育向基于数字平台教育的转变，实现优质资源共享。随着新课改的不断深入以及信息技术的迅速发展，“图形与几何”这部分的教学，可以利用信息技术工具制作图形来辅助教学，这样不仅可以减轻教师的教学负担，还可以让图形动起来，有利于学生发现图形在运动变化中不变的数量关系与位置关系，进而得到图形的性质，促进学生直观感知、想象力和思维能力的发展。

动态几何软件如几何画板、GeoGebra等，功能强大、使用简单、交互性强，能够方便快捷地制作可视化立体图形，完美地在动态演示中实现数形结合，本文主要阐述GeoGebra如何与几何教学进行深度融合。

GeoGebra是由美国亚特兰大大学的数学教授马库斯所设计的，目前技术已经相当成熟，拥有大量的演示模型案例，国外很多国家将GeoGebra的学习作为一项教师培养计划中的必学课程，它是一款以国家之力推广的重要教学软件。

笔者通过学习和应用发现， GeoGebra站在数学学科发展前沿，系统全面地应用于数学学科教学实际的知识体系中，让学生以富有乐趣的方式真正身临其境地体验数学和科学。GeoGebra可以说是数形结合的利器，能够直观展示数学知识中数与形的内在关系，以此提高学生数学分析与思考的能力。在实际使用中，笔者深刻体会到GeoGebra强大的动态效果，图形运动展示的直观性等，教师使用这个软件，可以有效地解决在几何教学中所面临的问题。

三、运用GeoGebra培养学生几何直观能力

由于初中的几何教学以实验几何为主，需要借助几何直观把繁杂的数学问题变得简洁、具体，便于探究问题解决的路径，最后能够预测结论。在之前的教学内容中，六年级上学期“圆和扇形”的教学中渗透了“化曲为直”“无限逼近”的数学思想，而六年级下学期“线段与角的画法”则是作为初中几何学习的开始。六年级几何学习与低年级阶段的几何学习相比，对学生来说难度是递进的，目标要求逐步提高，像点、线比较抽象，角平分线、补角和余角、长方体等概念对学生的空间想象力、几何直观、逻辑推理能力有一定的要求，如何能有效地发展学生的空间想象力，如何动态展示几何图形的变化过程，促使学生克服一些概念性的理解困境呢？笔者尝试在线上和线下课堂中使用GeoGebra动态数学几何软件，从而提高课堂效率，使学生个人自主探究几何的变化过程变得具有可操作性。下面以六年级数学中的教学为例，谈谈本人是如何在线上和线下使用GeoGebra进行教学的。

1.“圆的周长”教学片段

课前，教师将不同直径的3个圆的相关文件推送到学生的客户端，作为研究圆的直径与周长的关系的实验工具。在备课初期，教研组的教师们讨论过学生的学习难点，学生在测量圆的直径，以及探索圆的直径与周长的关系的过程中，会因为测量方法、测量工具使用不当而造成计算误差，最终导致圆周率概念的推导不顺利。所以借助GeoGebra软件来探索圆的直径和周长的关系是一个新的尝试。

教师提供了三个数字资源，即使用GeoGebra绘制3个不同直径大小的圆以及相关探究的学习单，让学生通过小组合作发现圆周率较为准确的数值。

学生们从平板中打开圆1、圆2和圆3文件，拖拉绿色『×』点到直尺0cm的位置，找到直径为1cm、2cm、3cm的圆（如图1）；再向右拖拉圆中红色『×』点，将红色的圆周完全拉直，体会“化曲为直”的过程（如图2）。以直径为3cm的圆为例，学生发现直径为3cm的圆，它的圆周是9cm多一点。此时教师需要再提醒学生放大图形。教师可以向学生提问“如何更加精准”，引导学生思考并动手操作。随后学生勾选“细分刻度”后，再将图形放大。教师提问学生：“再准确一点的圆周是多少？”学生发现当直径为3cm时，圆周十分接近9.425cm。每组学生把表格填写完整后，教师展示学生的实验结果。这个探究的过程强化了学生自身对图形的直观感性认识，使学生们在头脑中形成了新的几何表象知识。

6组学生通过GeoGebra实验发现圆的周长都是直径的3倍多一点，每个小组之间得到的结果比较接近，误差不大。教师打开圆4文件，拖动圆中绿色『×』点到直尺0cm的位置度量直径，并提问学生：“当圆的直径是1.2cm时，它的圆周是多少？”学生读取圆周拉直后的长度，教师再勾选“以直径为度量单位”，并提问：“若直尺以直径1.2cm为度量单位，把圆周拉直后，它的长度将会是多少？”教师拉直圆周并细分刻度，随后提问学生：“圆周长是否为3.14cm？”得到学生否定回答后，继续提问引导“3.14的含义”，学生回答是直径的3.14倍。教师拖拉滑竿上的点或点击改变直径的长度，再勾选“以直径为度量单位”框，提问学生：“圆的直径越长，圆的周长有什么变化？圆的周长除以直径的值会有怎样的变化？”学生回答后教师再引入圆周率的概念。

相比较过去的做法，教师让学生画出不同直径大小的圆，然后用自带的绳子绕圆一周，这样得到的结论会因为操作不当存在很大误差。而使用GeoGebra探究圆周率的过程并没有因为测量的失误导致以往出现圆的周长除以直径的值是4倍多、5倍多等较大的误差，GeoGebra化解了传统教学的难题。学生通过这种几何直观发现：无论圆怎么改变，其周长与直径的比值是固定不变的。GeoGebra实现了实时的数学动态演示，真正做到了课堂中学生进行自主探究。借助GeoGebra将静态的数学知识动态地展示出来，学生有效地参与了整个探究过程。

在几何的课堂教学中，教师需要充分关注学生们积累的表象知识，积累有效素材，巩固和强化学生自身的直观认识，促使他们脑中形成新的形象。

2.“尺规作图——角的平分线”教学片段

沪教版六年级下学期第七章“线段与角的画法”中，需要学生使用圆规和无刻度的直尺进行尺规作图，画出和已知线段长度相等的线段及与已知角大小相等的角。作为“图形与几何”领域的第一章，本章学习的是平面几何中最基本的图形，考虑到六年级学生需要经历“直观感知和操作证实”这样的几何学习过程。线上的几何教学存在一定难度，但为了保证线上也能让学生通过观察、操作、猜想、实验等活动获得知识的体验感，笔者再次借助GeoGebra来辅助教学以确保能适当增加线上实践部分的内容，增强学生的几何直观和空间想象力。

求作一个角的角平分时，除了让学生尝试使用量角器画出已知角的平分线之外，课本中还安排了尺规作图的教学内容（如图3）。运用GeoGebra作图，图形交点的形成过程十分清晰直观，但GeoGebra对作图顺序有很高的要求，因此学生必须尝试跟着教师的步骤在软件中逐一尝试，从而经历每一个步骤。经历图形形成过程后，教师再讲解作图语言并示范，学生跟着示范步骤动手在纸上用尺规作图。经过本次教学实践发现，学生的作图能力有了很大的提升，学生也经历了知识内化的过程，而教师并没有因为是线上教学而将教学演示替换成学生活动。教师引导学生学完课本知识后，再通过GeoGebra将具体的概念性作图步骤一一实现，体验真实的几何变化场景，由此，教师也能很好地完成线上的几何教学任务。

图三

四、结论与思考

GeoGebra在数学几何课堂中能起到牵线搭桥的作用，它能够精准地展示图形变换过程以及图形间的直观联系，让学生可以更加清楚地理解抽象的概念，有助于学生形成几何直观能力，提高教师的教学效率。此外，它在教师教学动点和函数问题上也能凸显优势，其动态功能能让学生更容易识别函数变化过程，体验几何知识从发生到发展的全过程。教师给学生的学习提供适当的平台，能够帮助他们提升对几何图形及其概念、性质的理解。

GeoGebra可用于电脑、手机、平板等终端，使用方便、灵活。教师充分利用其优势进行几何探究活动，能够有效达成线上线下教学有机融合，实现数学学科的数字化转型，真正意义上实现常态化教学与应用。

现实中部分数学教师没有在几何教学中选择使用GeoGebra辅助教学，很重要的一个原因是没有充分使用GeoGebra的线上共享资源，学校也没有建立GeoGebra相关的资源库，导致教师在使用该软件进行备课时，往往需要从最基础的几何积件开始制作，备课费时费力。因此，应该从多角度来支持师生充分利用GeoGebra进行教与学，如学校针对该软件开展教师学习培训，使教师学会充分利用GeoGebra的线上共享资源等。

教育数字化不能仅仅局限于在固化的教学中使用信息化工具，更重要的是要以信息化手段对教学起到推波助澜的作用，愿更多教师利用信息化工具设计有想法的、有创造性的教学活动，来达成更好的教学结果。