初中教材已经对二次函数做了较详细的研究，但是初中学生基础薄弱，接受能力又有限，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质上加以理解。进入高中以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念和基本性质灵活应用，对二次函数还需要再深入学习。
     一、进一步深入理解函数概念
     初中阶段已经讲述了函数的定义，进入高中后在学习集合的基础上又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点来阐明函数，这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例来加深认识函数的概念。二次函数是从一个集合A（定义域）到集合B（值域）上的映射：A→B，使得集合B中的元素y=ax2+bx+c（a≠0）与集合A的元素x对应，记为（x）= ax2+ bx+c（a≠0）这里ax2+bx+c表示对应法则，又表示定义域中的元素x在值域中的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题：
     类型I：已知（x）= 2x2+x+2，求（x+1）。
这里不能把（x+1）理解为x=x+1时的函数值，只能理解为自变量为x+1的函数值。
     类型Ⅱ：设（x+1）=x2－4x+1，求（x）。
这个问题理解为，已知对应法则下，定义域中的元素x+1的象是x2－4x+1，求定义域中元素x的象，其本质是求对应法则。
     一般有两种方法：
（1）把所给表达式表示成x+1的多项式。
（x+1）=x2－4x+1=（x+1）2－6（x+1）+6，再用x代x+1得（x）=x2－6x+6
（2） 变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。
令t=x+1，则x=t-1 
（t）=（t-1）2－4（t-1）+1=t2－6t+6
从而（x）= x2－6x+6
     二、二次函数的单调性、最值与图象
     在高中阶阶段学习单调性时，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c在区间（－∞，－b2a ]及[－b2a ，+∞） 上的单调性的结论用定义进行严格的论证，使它建立在严密理论的基础上，与此同时，进一步充分利用函数图象的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步自觉地利用图象学习二次函数有关的一些函数单调性。
     类型Ⅲ：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。
（1）y=x2+2|x－1|－1
（2）y=|x2－1|
（3）y= x2+2|x|－1
     这里要使学生注意这些函数与二次函数的差异和联系。掌握把含有绝对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。
     类型Ⅳ：设（x）=x2－2x－1在区间[t，t+1]上的最小值是g（t），求g（t）并画出 y=g（t）的图象。
解：（x）=x2－2x－1=（x－1）2－2，在x=1时取最小值－2
当1∈[t，t+1]即0≤t≤1，g（t）=－2
当t＞1时，g（t）=（t）=t2－2t－1
当t＜0时，g（t）=（t+1）=t2－2
t2－2，（t<0）
g（t）= -2，（0≤t≤1）
t2－2t－1，（t>1）
     首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上或是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化时，取最大或最小值的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些练习。
     三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维
     类型Ⅴ：设二次函数（x）=ax2+bx+c（a>0）方程（x）－x=0的两个根x1，x2满足0<x1<x2<1。
（Ⅰ）当x∈（0，x1）时，证明x<（x）<x1。
（Ⅱ）设函数（x）的图象关于直线x=x0对称，证明x0< x2。
      解题思路：本题要证明的是x<（x）<x1和x0<x2 ，由题中所提供的信息可以联想到：①（x）=x，说明抛物线与直线y=x在第一象限内有两个不同的交点；②方程（x）－x=0可变为ax2+（b－1）x+1=0，它的两根为x1，x2，可得到x1，x2与a、b、c之间的关系式。因此解题思路明显有三条：1.图象法；2.利用一元二次方程根与系数关系；3.利用一元二次方程的求根公式，辅之以不等式的推导。现以思路2为例解决这道题：
（Ⅰ）先证明x<（x），令（x）=（x）-x，因为x1，x2是方程（x）-x=0的根，（x）=ax2+bx+c，所以（x）=a（x－x1）（x－x2）
因为0<x1<x2，所以，当x∈（0，x1）时， x－x1<0，x－x2<0得（x－x1）（x－x2）>0，又a＞0，因此（x） ＞0，即（x）-x＞0。
至此，证得x<（x）。
根据韦达定理，有x1x2=ca
∵ 0＜x1＜x2<a ，c=ax1x2<x=（x1），又c=0
∴ 0< x1，根据二次函数的性质，曲线y=（x）是开口向上的抛物线，因此，函数y=（x）在闭区间[0，x1]上的最大值在边界点x=0或x=x1处达到，而且不可能在区间的内部达到，由于x1 > 0，所以当x∈（0，x1）时
（x）<（x1）=x1，
 即x<（x）<x1
（Ⅱ） ∵（x）=ax2+bx+c（a>0）
 函数（x）的图象的对称轴为直线x=－b2a，且是唯一的一条对称轴，依题意，得x0=－b2a，因为x1，x2是二次方程ax2+（b－1）x+c=0的根，根据违达定理得x1+x2=－b-a
∵ x2－a <0
∴ x0=－b2a=x1+x2－a<x2，即x0=x2
     二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和综合数学素质，特别是能从解答的深入程度中，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。二次函数的内容涉及很广，希望各位同仁在高中数学教学中也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。